九年级下册下数学专项练习人教版三二九相似角形的判定与性质大题型

【例1】（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知菱形中，是边上一点．

(1)在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若，求证：．

【变式1-1】（2023·陕西·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAB∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）

【变式1-2】（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式1-3】（2023春·河北保定·九年级统考期末）在中，，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，根据下列作图痕迹判断，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【例2】（2023春·上海·九年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．

(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；

(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．

【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．

(1)求证：∽；

(2)当时，求的长；

(3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP____DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．

①如图2，若PQ＝5，求AP长．

②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为_．

【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM=_____．

【例3】（2023春·全国·九年级期中）如图1所示，一个木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等积的正方形木板．

甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．

乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需正方形，并求得AM＝

下列说法正确的是（　　）

A．甲的分割方式不正确

B．甲的分割方式正确，AM的值求解不正确

C．乙的分割方式与所求AM的值都正确

D．乙的分割方式正确，AM的值求解不正确

【变式3-1】（2023·河北保定·统考二模）如图为三角形纸片ABC，其中D点和E点将AB三等分，F点为DE中点．若小慕从AB上的一点P，沿着与直线BC平行的方向将纸片剪开后，剪下的小三角形纸片面积为△ABC的，则下列关于P点位置的叙述正确的是（　　）

A．在FE上，但不与F点也不与E点重合

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