九年级上册初中数学专项练习2125十二次函数中的存在性问题大题型

 二次函数中的存在性问题

【题型1  二次函数中等腰三角形的存在性问题】

【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标．

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；

【变式1-1】（2023秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求的面积最大值；

(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-2】（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求线段的最大值；

(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y₁，在y₁的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【题型2  二次函数中直角三角形的存在性问题】

【例2】（2023秋·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．

【变式2-1】（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标；

(3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由．

【变式2-2】（2023春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数的图象经过，，与x轴交于点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)点直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；

(3)在抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；

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