九年级上册初中数学专项练习212522二八次函数中的存在性问题大题型

二次函数中的存在性问题-八大题型

【题型1  二次函数中直角三角形的存在性问题】

【例1】（柳州）已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求b，c，m的值；

（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

【变式1-1】（桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．

（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；

（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

【变式1-2】（日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x²+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．

（1）求M点的坐标；

（2）求△MBC的面积；

（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-3】（平南县二模）如图，二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型2  二次函数中等腰三角形的存在性问题】

【例2】（沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）水平向右平移个单位，得到新抛物线y₁，在y₁的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

【变式2-1】（湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

（1）求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

（2）点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-2】（永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y3x+k交y轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．

（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．

（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．

（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．

【变式2-3】（杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax²﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．

（1）求抛物线的对称轴；

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