九年级上册初中数学专项练习21一25二八大题型元次方程的根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系-八大题型

【知识点  一元二次方程的根与系数的关系】

如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

【题型1  由根与系数的关系求代数式的值（直接）】

【例1】（江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x²+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　   　．

【变式1-1】（密山市校级期末）若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣7x+5＝0的两根，则（x₁﹣1）（x₂﹣1）的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【变式1-2】（汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x²﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x₁、x₂，则的值是（　　）

A． B． C．2 D．

【变式1-3】（琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x²﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（　　）

A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5

【题型2  由根与系数的关系求代数式的值（代换）】

【例2】（乳山市模拟）若x₁，x₂是方程2x²﹣3x+1＝0的两个根，则3x₁²﹣3x₁+x₂²＝（　　）

A． B． C． D．

【变式2-1】（牟平区一模）已知一元二次方程x²﹣2022x+1＝0的两个根分别为x₁，x₂，则x₁²1的值为（　　）

A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021

【变式2-2】（东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x²﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m²﹣6m﹣n+2022的值是（　　）

A．2016 B．2018 C．2020 D．2022

【变式2-3】（海门市期末）若m，n是方程x²﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m²+4n²﹣4n+2022的值为 　    　．

【题型3  由根与系数的关系求代数式的值（降次）】

【例3】（呼和浩特）已知x₁，x₂是方程x²﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x₁³﹣2022x₁+x₂²的值是（　　）

A．4045 B．4044 C．2022 D．1

【变式3-1】（硚口区模拟）已知a，b是方程x²﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a³+5a的值是（　　）

A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1

【变式3-2】（松山区模拟）若m，n是一元二次方程x²+x﹣3＝0的两个实数根，则m³﹣4n²+17的值为（　　）

A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4

【变式3-3】（汉阳区校级月考）已知m，n是方程x²﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m³+5n²4的值是（　　）

A．57 B．58 C．59 D．60

【题型4  由方程两根满足关系式求字母系数的值】

【例4】（毕节市期末）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²﹣（2m+3）x+m²＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　）

A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3

【变式4-1】（黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣2（a﹣1）x+a²﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x₁，x₂．且x₁，x₂满足x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝16，则a的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1

【变式4-2】（仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣4kx+3k²＝0．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根x₁，x₂，满足x₁﹣x₂＝3，求k的值．

【变式4-3】（内江）已知x₁、x₂是关于x的方程x²﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x₁²+2x₂﹣1，则k的值为 　  　．

【题型5  构造一元二次方程求代数式的值】

【例5】（鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）²＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）²，则的值为（　　）

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