九年级上册初中数学专项练习21一25二次方程的根与系数关系重难点题型元

一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型

【知识点1  一元二次方程的根与系数的关系】

如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

【题型1  利用根与系数的关系求代数式的值】

【例1】（普宁市期末）若一元二次方程x²﹣x﹣2＝0的两根为x₁，x₂，则（1+x₁）+x₂（1﹣x₁）＝　 　．

【变式1-1】（龙马潭区模拟）设x₁，x₂是方程x²+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为　 　．

【变式1-2】（解放区校级月考）一元二次方程x²+4x+1＝0的两个根是x₁，x₂，则的值为　 　．（其中x₂＞x₁）

【变式1-3】（淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x²+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为　  　．

【题型2  利用根与系数的关系求系数字母的值】

【例2】（成都模拟）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+2k＝0有两个实数根为x₁，x₂，使得x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16成立，则k的值　 　．

【变式2-1】（萍乡期末）关于x的一元二次方程x²﹣2x+m＝0的二根为x₁，x₂，且x₁²﹣x₁+x₂＝3x₁x₂，则m＝　 　．

【变式2-2】（文登区期中）已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²﹣2＝0的两根x₁和x₂，且x₁²﹣2x₁+2x₂＝x₁x₂，则k的值是　    　．

【变式2-3】（武侯区校级月考）已知二次方程x²+（2m+1）x+m²﹣2m0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值　  　．

【题型3  利用根与系数的关系及代根法综合求值】

【例3】（九龙坡区校级期末）如果方程x²﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α²+β﹣2αβ的值为（　　）

A．7 B．6 C．﹣2 D．0

【变式3-1】（抚州期末）一元二次方程x²﹣3x+1＝0的两个根为x₁，x₂，则x₁²+3x₂+x₁x₂+1的值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．7

【变式3-2】（宜宾期末）已知α、β是方程x²﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α⁴+3β的值是（　　）

A．4 B．4 C．5 D．5

【变式3-3】（雅安期末）设x₁、x₂是方程x²﹣4x+1＝0的两个根，则x₁³+4x₂²+x₁﹣1的值为　 　．

【题型4  构造一元二次方程求代数式的值】

【例4】（柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m²﹣m＝3，n²﹣n＝3，那么代数式2n²﹣mn+2m+2021＝　 　．

【变式4-1】（崇川区月考）实数x，y分别满足99x²+2021x＝﹣1．y²+2021y＝﹣99，且xy≠1．则　   　．

【变式4-2】（郫都区校级模拟）已知a²﹣2a﹣1＝0，b²+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　 　．

【变式4-3】（蕲春县期中）已知实数α，β满足α²+3α﹣1＝0，β²﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则3β的值为　 　．

【题型5  根与系数的关系与三角形综合】

【例5】（西工区期中）已知关于x的方程x²﹣8x﹣k²+4k+12＝0．

（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

【变式5-1】（吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣2mx+m+1＝0

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．

（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？

（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．

【变式5-2】（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+4）x+m²+4m＝0．

（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂；

①求代数式4x₁x₂的最大值；

②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．

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